Թվային ֆունկցիա
Ասում են, որ X թվային բազմությունում որոշված է f թվային ֆունկցիա, եթե այն (X) բազմության ամեն մի x թվի համապատասխանեցնում է y թիվ՝ y=f(x):
X բազմությունն անվանում են y = f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:
f—ը բնութագրում է այն կանոնը, որով x փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին (X) բազմությունից համապատասխանում է y փոփոխականի համապատասխան արժեքը:
x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ նրան համապատասխանող y թիվը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք x կետում:
f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքների բազմությունն անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմություն:
f ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ընդունված է նշանակել D(f)-ով, իսկ արժեքների տիրույթը՝ E(f)-ով:
Այս նշանակումներով ընդունված է գրել՝ f:D(f)→E(f):
«Տրված է ֆունկցիա» ասելով հասկանում ենք, որ տրված է նրա D(f)
որոշման տիրույթը և նկարագրված է f կանոնը, որով որոշման տիրույթի ցանկացած x թվի համապատասխանության մեջ է դրվում y=f(x) թիվը:
Եթե ֆունկցիան տրված է բանաձևով և տրված չէ նրա որոշման տիրույթը, ապա ֆունկցիայի որոշման տիրույթը նրա թույլատրելի արժեքների բազմությունն է (ԹԱԲ):
f(x)=c, x∈X ֆունկցիան իր որոշման տիրույթի ցանկացած կետում ընդունում է միևնույն c արժեքը: Այսպիսի ֆունկցիան կոչվում է հաստատուն ֆունկցիա:
Թվային ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=f(x), x∈X ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են կոորդինատային հարթության այն (x;y) կետերի բազմությունը, որոնց համար y=f(x):
Օրինակ.
1. y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Ներքևում ցուցադրված է y=−1,5x−3 ֆունկցիայի գրաֆիկը:
2. y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է պարաբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում:
3. y=1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է հիպերբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում:
4. y=√x ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը:
5. Հիշենք նաև y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Հիշենք, որ ֆունկցիան ցանկացած արգումենտի համար պեքտ է ունենա միայն մեկ արժեք: Գրաֆիկի տերմիններով այս պահանջը նշանակում է, հետևյալը.
կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կորը հանդիսանում է որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ այն և միայն այն դեպքում, եթե օրդինատների առանցքին զուգահեռ ցանկացած ուղիղ կամ կորը չի հատում կամ հատում է միայն մեկ կետում:
Oրինակ՝
Ի տարբերություն վերևի կորերի, հետևյալ կորը որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ չէ (կետագծով նշված ուղիղը պատկերված կորը հատում է երկու կետերում):
Ֆունկցիաների գումար, տարբերություն,արտադրյալ և քանորդ
Դիցուք տրված է են f և g ֆունկցիաներ: Դիտարկենք մի նոր՝ F ֆունկցիա, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g
ֆունկցիաների արժեքների գումարին՝ F(x)=f(x)+g(x):
Բնականաբար՝ F ֆունկցիան որոշված է այն x կետերում, որտեղ որոշված են և՛ f, և՛ g ֆունկցիաները:
F ֆունկցիան անվանում են f և g ֆունկցիաների գումար՝ F=f+g:
F ֆունկցիայի որոշման տիրույթը հավասար է f և g ֆունկցիաների որոշման տիրույթների հատմանը՝ D(F)=D(f)∩D(g):
Դիցուք f(x)=x2+1, x∈[−15;10] և g(x)=x3−x2+2, x∈[−5;17]
Այդ դեպքում F(x)=x3+3 և D(F)=[−15;10]∩[−5;17]=[−5;10]
Նույն ձևով սահմանում ենք f և g ֆունկցիաների տարբերությունն ու արտադրյալը:
f և g ֆունկցիաների տարբերությունանվանում են այն G ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների տարբերությանը՝ G(x)=f(x)−g(x):
f և g ֆունկցիաների արտադրյալ անվանում են այն H ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների արտադրյալին՝ H(x)=f(x)⋅g(x):
Հասկանալի է, որ այս դեպքերում ևս, f և g ֆունկցիաների տարբերության և արտադրյալի որոշման տիրույթը հավասար է այդ ֆունկցիաների որոշման տիրույթների հատմանը:
Նման ձևով է սահմանվում նաև f և g ֆունկցիաների քանորդը: Սակայն այս դեպքում պետք է պահանջել, որ հայտարարը լինի զրոյից տարբեր.
f և g ֆունկցիաների քանորդ անվանում են այն F ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների հարաբերությանը F(x)=f(x)/g(x):
Այս դեպքում F ֆունկցիան որոշված է այն x կետերում, որտեղ որոշված են և՛
f, և՛ (g) ֆունկցիաները, ընդ որում, g(x)≠0:
Ֆունկցիաների համադրույթ
Դիցուք տրված է են f և g ֆունկցիաներ: Դիտարկենք F ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հաշվում ենք հետևյալ կերպ.
- — նախ հաշվում ենք g ֆունկցիայի արժեքը x կետում՝ g(x)—ը, ապա o
- — հաշվում ենք f ֆունկցիայի արժեքը ստացած g(x) կետում:
Արդյունքում՝ F(x)=f[g(x)]:
Այս կերպ սահմանված F ֆունկցիան անվանում են f և g ֆունկցիաների համադրույթ և նշանակում են՝ F=f օ g:
Այս դեպքում ասում են, որ F—ը բարդ ֆունկցիա է:
Հասկանալի է, որ f և g ֆունկցիաների F համադրույթի որոշման տիրույթը բաղկացած է այն (x) կետերից, որոնք պատկանում են g ֆունկցիայի որոշման տիրույթներին, և որոնց համար g(x)-ը պատկանում է f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթին՝ x∈D(g), g(x)∈D(f):
Համադրույթում ֆունկցիաների հերթականությունը կարևոր է:
Ընդհանրապես ասած, f օ g ≠ g օ f, եթե նույնիսկ երկու համադրույթներն էլ գոյություն ունեն:
у = f(x + a) և у = f(x) + a ֆունկցիաների գրաֆիկիները
у=f(x+a) ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ աբսցիսների առանցքի ուղղությամբ:
- — Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի աջ կամ դեպի ձախ) որոշվում է a թվի նշանով:
- — Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:
Եթե a>0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի ձախ, իսկ եթեa<0, ապա՝ դեպի աջ:
Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` չորս միավորով դեպի վերև: Ուրեմն, սա у=x²+4 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:
Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ներքև: Ուրեմն, սա у=x²−3 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:
Հետևաբար.
- y=f(x+a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ձախ:
- y=f(x−a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի աջ:
у=f(x)+a ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ օրդինատների առանցքի ուղղությամբ:
- — Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի վերև կամ դեպի ներքև) որոշվում է a թվի նշանով:
- — Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:
Եթե a>0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի վերև, իսկ եթե a<0, ապա՝ դեպի ներքև:
Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ձախ: Ուրեմն, սա у=(x+3)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է:
Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երկու միավորով դեպի աջ: Ուրեմն, սա у=(x−2)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է:
Հետևաբար՝
y=f(x)+a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի վերև:
y=f(x)−a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ներքև:
у = f(-x) և у = — f(x) ֆունկցիաների գրաֆիկիները
у=f(−x) և у=f(x) ֆունկցիաների գրաֆիկները համաչափ են օրդինատների առանցքի նկատմամբ:
у=−f(x) և у=f(x) ֆունկցիաների գրաֆիկները համաչափ են աբսցիսների առանցքի նկատմամբ:
у = f(ax) և у = af(x) ֆունկցիաների գրաֆիկիները
у=f(ax) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ a-ն դրական թիվ է, у=f(x)
ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի սեղմում կամ ձգում աբսցիսների առանցքի երկայնքով:
Գրաֆիկի սեղմումը կամ ձգումը տեղի է ունենում a թվի արժեքից կախված:
- Եթե a>1, ապա գրաֆիկը սեղմվում է աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ դեպի օրդինատների առանցքը:
- Եթե 0<a<1, ապա գրաֆիկը ձգվում է աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ հեռանալով օրդինատների առանցքից:
Մասնավորապես՝
- y=f(2x) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 անգամ սեղմել աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ դեպի օրդինատների առանցքը:
- y=f(x/2) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 անգամ ձգել աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն օրդինատների առանցքից:
у=af(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ a-ն դրական թիվ է, у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի սեղմում կամ ձգում օրդինատների առանցքի երկայնքով:
Գրաֆիկի սեղմումը կամ ձգումը տեղի է ունենում a թվի արժեքից կախված:
- Եթե a>1, ապա գրաֆիկը ձգվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն աբսցիսների առանցքից:
- Եթե 0<a<1, ապա գրաֆիկը սեղմվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ դեպի աբսցիսների առանցքը:
Մասնավորապես՝
- y=3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 3 անգամ ձգել օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն աբսցիսների առանցքից:
- y=f(x)/3 ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 3 անգամ սեղմել օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ դեպի աբսցիսների առանցքը:
у = |f(x)| և у = f(|x|) ֆունկցիաների գրաֆիկիները
у=|f(x)| ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս պետք է՝
— վերցնել у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի այն մասը, որը աբսցիսների առանցքի վրա է կամ գտնվում է դրանից վեր,
— աբսցիսների առանցքից ցած գտնվող մասը համաչափ արտապատկերել աբսցիսների առանցքի նկատմամբ:
Դիցուք, այս նկարում պատկերված է у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:
у=f(x)ֆունկցիայի գրաֆիկի այն մասը, որը աբսցիսների առանցքի վրա է կամ դրանից վեր է չենք փոփոխում, ցած գտնվող մասը՝ համաչափ արտապատկերում ենք աբսցիսների առանցքի նկատմամբ:
Ստանում ենք у=|f(x)| ֆունկցիայի գրաֆիկը՝
у=f(|x|) ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս պետք է՝
— ոչ բացասական x-երի համար կառուցել у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը,
— ստացված գրաֆիկը համաչափ արտապատկերել օրդինատների առանցքի նկատմամբ:
Դիցուք, այս նկարում պատկերված է у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Ոչ բացասական x-երի համար գրաֆիկը չենք փոփոխում, իսկ բացասական x-երի համար կառուցում ենք դրա համաչափ պատկերը օրդինատների առանցքի նկատմամբ:
Ստանում ենք у=f(|x|) ֆունկցիայի գրաֆիկը՝
у=f(|x|) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ:
Կոտորակագծային ֆունկցիա
Սահմանափակ ֆունկցիաներ
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≥m անհավասարությունը:
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≤M անհավասարությունը:
Օրինակ՝
ա) f(x)=|x|+3 ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից 3-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≥3 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:
f(x)=|x|+3 ֆունկցիան վերևից սահմանափակ չէ:
բ) f(x)=2−|x| ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից 2-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≤0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:
f(x)=2−|x| ֆունկցիան ներքևից սահմանափակ չէ:
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն գոյություն ունեն այնպիսի m և M թվեր, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի m≤f(x)≤M կրկնակի անհավասարությունը:
Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը նշանակում է գտնել m և M թվերը:
y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի A թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի |f(x)|≤A անհավասարությունը:
Ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները
Եթե y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթում կա փոքրագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի փոքրագույն արժեք:
Եթե y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթում կա մեծագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի մեծագույն արժեք:
-ով ընդունված է նշանակել ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը:
-ով ընդունված է նշանակել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը:
Պարբերական ֆունկցիաներ
Ասում են, որ y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, եթե կամայական x∈X արգումենտի համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝ f(x−T)=f(x)=f(x+T):
Զրոյից տարբեր T պարբերություն ունեցող ֆունկցիան կոչվում է պարբերական:
Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, ապա T-ին պատիկ ցանկացած թիվ ևս y=f(x) ֆունկցիայի պարբերությունն է:
Պարբերական ֆունկցիան ունի անվերջ թվով պարբերություններ:
Մեծամասամբ դրանց մեջ լինում է ամենափոքր դրական պարբերությունը:
Եթե պարբերական ֆունկցիան ունի փոքրագույն դրական պարբերություն, ապա այն անվանում են հիմնական պարբերություն:
Պարբերական ֆունկցիայի լավ օրինակներ են y=sinx և y=cosx եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Դրանց պարբերությունը հավասար է 2π:
y=tgx և y=ctgx ֆունկցիաները ևս պարբերական են՝ π պարբերությամբ:
Նույնաբար հաստատուն y=const ֆունկցիան ևս պարբերական է: Նրա համար ցանկացածT≠0 թիվ պարբերություն է:
Պարբերական ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորաբար կառուցում են [;+T) հատվածի վրա, ապա այն կրկնելով շարունակում են ամբողջ որոշման տիրույթի վրա:
Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ
1) y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են զույգ, եթե ցանկացած x-ի համար X բազմությունից կատարվում է f(−x)=f(x) հավասարությունը:
2) y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են կենտ, եթե ցանկացած x-ի համար X բազմությունից կատարվում է f(−x)=−f(x) հավասարությունը:
Ֆունկցիան կարող է լինել զույգ, կենտ, կարող է նաև լինել ո՛չ զույգ, ո՛չ էլ կենտ:
Եթե y=f(x) ֆունկցիան զույգ է կամ կենտ, ապա նրա D(f) որոշման տիրույթը համաչափ բազմություն է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:
y=f(x) ֆունկցիայի զույգության հետազոտման ալգորիթմը հետևյալն է.
- Պարզել, թե արդյո՞ք D(f) որոշման տիրույթը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ: Եթե «ոչ», ապա ֆունկցիան ո՛չ զույգ է ո՛չ էլ կենտ: Եթե «այո», ապա անցնել երկրորդ քայլին:
- Կազմել f(−x) արտահայտությունը:
- Համեմատել f(−x) և f(x) արտահայտությունները:
- ա) Եթե f(−x)=f(x) ցանկացած x∈D(f) արգումենտի համար, ապա ֆունկցիան զույգ է:
- բ) Եթե f(−x)=−f(x) ցանկացած x∈D(f), արգումենտի համար, ապա ֆունկցիան կենտ է:
- գ) Եթե գոնե մեկ x∈D(f) արգումենտի համար տեղի ունի f(−x)≠f(x) կամ f(−x)≠−f(x) հավասարություններից մեկը, ապա y=f(x) ֆունկցիան ո՛չ զույգ է, ո՛չ էլ կենտ:
Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ, ապա ֆունկցիան զույգ է:
Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ, ապա ֆունկցիան կենտ է:
Սինուսը, տանգենսը, կոտանգենսը կենտ ֆունկցիաներ են, իսկ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է:
Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքեր
Աճող և նվազող ֆունկցիաներն ունեն ընդհանուր անվանում՝ մոնոտոն ֆունկցիաներ:
Մեզ կհետաքրքրեն այն միջակայքերը, որտեղ y=f(x) ֆունկցիան մոնոտոն է: Այդպիսի միջակայքը կոչվում է y=f(x) ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայք:
Գտնենք հետևյալ ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը`
Գրաֆիկից տեսնում ենք, որ՝
[2;5] և [7;8] հատվածներում ֆունկցիան խիստ աճող է,
[8;12] հատվածում ֆունկցիան խիստ նվազող է,իսկ [2;8] հատվածում ֆունկցիան չնվազող է (աճող է ոչ խիստ իմաստով), քանի որ [5;7] հատվածում այն նույնաբար հաստատուն է:
Ֆունկցիայի էքստրեմումները
Ֆունկցիայի արժեքը մինիմումի կետում կոչվում է ֆունկցիայի մինիմում և նշանակվում :
Ֆունկցիայի մաքսիմումի և մինիմումի կետերը ունեն ընդհանուր անվանում՝ էքստրեմումի կետեր: Իսկ ֆունկցիայի մաքսիմումներն ու մինիմումները կոչվում են ֆունկցիայի էքստրեմումներ:
Դիտարկենք հետևյալ գրաֆիկը:
Այս ֆունկցիան ունի էքստրեմումի երեք կետ՝ -ն, -ը և -ը: Ընդ որում,— ն և -ը մինիմումի կետեր են, իսկ -ը մաքսիմումի կետ է:
Ֆունկցիան իր փոքրագույն արժեքը՝ -ը ընդունում է -ը մինիմումի կետում:Ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը B-ն է: Սակայն ֆունկցիան իր
B մեծագույն արժեքը ընդունում է ոչ թե մաքսիմումի կետում, այլ b ծայրակետում:
Հատվածում որոշված ֆունկցիան իր մեծագույն (փոքրագույն) արժեքը կարող է ընդունել մաքսիմումի (մինիմումի) կետում կամ հատվածի ծայրակետերում:
Ֆունկցիայի հետազոտում և գրաֆիկի կառուցում
Ստանում ենք հետևյալ գրաֆիկը՝
y=f(x) ֆունկցիայի վարքի հետազոտման և գրաֆիկի ուրվագծի կառուցման համար, որպես կանոն, պետք է կատարել հետևյալ քայլերը:
- Գտնել y=f(x) ֆունկցիայի D(f) որոշման տիրույթը:
- Գտնել y=f(x) E(f) արժեքների բազմությունը:
- Պարզել ֆունկցիայի պարբերականությունը:
- Պարզել ֆունկցիայի զույգությունը:
- Պարզել ֆունկցիայի սահմանափակությունը և գոյության դեպքում գտնել ֆոունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները:
- Պարզել ֆունկցիայի անընդհատությունը կամ գտնել նրա խզման կետերը:
- Գտնել ֆունկցիայի զրոները, մասնավորապես, որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերը:
- Գտնել ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը:
- Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը:
- Գտնել ֆունկցիայի էքստրեմումի կետերն ու էքստրեմումները:
- Եթե ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի միջակայքերից, ապա պարզել ֆունկցիայի վարքը այդ միջակայքերի ծայրակետերում:
Կախված խնդրի պահանջից, վերը թվարկված քայլերի մի մասը կարելի է բաց թողնել կամ, եթե պահանջվում է գրաֆիկի մանրակրկիտ կառուցում, կատերել հավելյալ քայլեր (մասնավորապես, հաշվել ֆունկցիայի արժեքները որոշ կետերում և կազմել արժեքների աղյուսակ):
Քայլերի հերթականությունը պարտադիր չէ՝ այն կարելի է ընտրել նպատակահարմարությունից ելնելով:
Հակադարձ ֆունկցիա
y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են հակադարձելի X բազմությունում, եթե այն իր յուրաքանչյուր արժեք ընդունում է X բազմության միայն մեկ կետում (այլ բառերով՝ արգումենտի իրարից տարբեր արժեքներին համապատասխանում են ֆունկցիայի իրարից տարբեր արժեքներ):
Թեորեմ 1 Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան մոնոտոն է, ապա այն հակադարձելի է X բազմությունում:
Հիշենք, որ մոնոտոն ֆունկցիան աճում կամ նվազում է խիստ իմաստով:
Թեորեմ 2, 3
y=f(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիայի բանաձևը գտնելու համար պետք է.
- y=f(x) հավասարումից (x)-ն արտահայտել y-ով,
- ստացված x=g(y) բանաձևում փոխել x-ի և y-ի տեղերը: