Ֆունկցիա

Թվային ֆունկցիա

Ասում են, որ X թվային բազմությունում որոշված է f թվային ֆունկցիա, եթե այն (X) բազմության ամեն մի x թվի համապատասխանեցնում է y թիվ՝  y=f(x):

X բազմությունն անվանում են y = f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:

fը բնութագրում է այն կանոնը, որով x փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին (X) բազմությունից համապատասխանում է y փոփոխականի համապատասխան արժեքը:

x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ  նրան համապատասխանող y թիվը՝  կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք x կետում:

f(x) ֆունկցիայի բոլոր արժեքների բազմությունն անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմություն:

f  ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ընդունված է նշանակել D(f)-ով, իսկ արժեքների տիրույթը՝ E(f)-ով:

Այս նշանակումներով ընդունված է գրել՝ f:D(f)→E(f):

«Տրված է ֆունկցիա» ասելով հասկանում ենք, որ տրված է նրա D(f)

որոշման տիրույթը և նկարագրված է f կանոնը, որով որոշման տիրույթի ցանկացած x թվի համապատասխանության մեջ է դրվում y=f(x) թիվը:  

Եթե ֆունկցիան տրված է բանաձևով և տրված չէ նրա որոշման տիրույթը, ապա ֆունկցիայի որոշման տիրույթը նրա թույլատրելի արժեքների բազմությունն է (ԹԱԲ):

f(x)=c, x∈X ֆունկցիան իր որոշման տիրույթի ցանկացած կետում ընդունում է միևնույն c արժեքը: Այսպիսի ֆունկցիան կոչվում է հաստատուն ֆունկցիա:

Թվային ֆունկցիայի գրաֆիկը

y=f(x), x∈X ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են կոորդինատային հարթության այն  (x;y) կետերի բազմությունը, որոնց համար y=f(x):

Օրինակ.

1. y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկն ուղիղ գիծ է:  Ներքևում ցուցադրված է y=−1,5x−3 ֆունկցիայի գրաֆիկը: 

g2.png

2. y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է պարաբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում: 

g3.png

3. y=1/x ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է հիպերբոլ: Նրա տեսքը ցուցադրված է ներքևի նկարում: 

g4.png

 4. y=√x ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը: 

g6.png

5. Հիշենք նաև y=|x| ֆունկցիայի գրաֆիկը: 

g5.png

Հիշենք, որ ֆունկցիան ցանկացած արգումենտի համար պեքտ է ունենա միայն մեկ արժեք: Գրաֆիկի տերմիններով այս պահանջը նշանակում է, հետևյալը.

կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կորը հանդիսանում է որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ այն և միայն այն դեպքում, եթե օրդինատների առանցքին զուգահեռ ցանկացած ուղիղ կամ կորը չի հատում կամ հատում է միայն մեկ կետում:

Oրինակ՝

Ի տարբերություն վերևի կորերի, հետևյալ կորը որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ չէ (կետագծով նշված ուղիղը պատկերված կորը հատում է երկու կետերում):

Ֆունկցիաների գումար, տարբերություն,արտադրյալ  և քանորդ

Դիցուք տրված է են f և g ֆունկցիաներ: Դիտարկենք մի նոր՝ F  ֆունկցիա, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g

ֆունկցիաների արժեքների գումարին՝ F(x)=f(x)+g(x):

Բնականաբար՝ F ֆունկցիան որոշված է այն x կետերում, որտեղ որոշված են և՛ f,  և՛ g ֆունկցիաները:

F ֆունկցիան անվանում են f և g ֆունկցիաների գումար՝ F=f+g:

F ֆունկցիայի որոշման տիրույթը հավասար է f և g ֆունկցիաների որոշման տիրույթների հատմանը՝ D(F)=D(f)∩D(g):

Դիցուք f(x)=x2+1, x∈[−15;10] և g(x)=x3−x2+2, x∈[−5;17]

Այդ դեպքում F(x)=x3+3 և D(F)=[−15;10]∩[−5;17]=[−5;10]

Նույն ձևով սահմանում ենք  f  և  g ֆունկցիաների տարբերությունն ու արտադրյալը:

f և g ֆունկցիաների տարբերությունանվանում են այն G ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների տարբերությանը՝ G(x)=f(x)−g(x):

f և g ֆունկցիաների արտադրյալ անվանում են այն H ֆունկցիան, որի արժեքը  x կետում հավասար է այդ կետում  f և  g ֆունկցիաների արժեքների արտադրյալին՝ H(x)=f(x)⋅g(x):

Հասկանալի է, որ այս դեպքերում ևս,  f  և  g ֆունկցիաների տարբերության և արտադրյալի որոշման տիրույթը հավասար է այդ ֆունկցիաների որոշման տիրույթների հատմանը:

Նման ձևով է սահմանվում նաև f և g ֆունկցիաների քանորդը: Սակայն այս դեպքում պետք է պահանջել, որ հայտարարը լինի զրոյից տարբեր.

f և g ֆունկցիաների քանորդ անվանում են այն F ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների հարաբերությանը F(x)=f(x)/g(x):

Այս դեպքում F ֆունկցիան որոշված է այն x կետերում, որտեղ որոշված են և՛

f, և՛ (g) ֆունկցիաները, ընդ որում, g(x)≠0:

Ֆունկցիաների համադրույթ

Դիցուք տրված է են f և g ֆունկցիաներ: Դիտարկենք F ֆունկցիան, որի արժեքը x  կետում հաշվում ենք հետևյալ կերպ.

  • — նախ հաշվում ենք g ֆունկցիայի արժեքը x կետում՝ g(x)ը, ապա o
  • — հաշվում ենք f ֆունկցիայի արժեքը ստացած g(x) կետում:

Արդյունքում՝ F(x)=f[g(x)]:

Այս կերպ սահմանված F ֆունկցիան անվանում են f և g ֆունկցիաների համադրույթ և նշանակում են՝ F=f օ g:

Այս դեպքում ասում են, որ Fը բարդ ֆունկցիա է:

Հասկանալի է, որ f և g ֆունկցիաների F համադրույթի որոշման տիրույթը բաղկացած է այն (x) կետերից, որոնք պատկանում են g ֆունկցիայի որոշման տիրույթներին, և որոնց համար g(x)-ը պատկանում է f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթին՝  x∈D(g), g(x)∈D(f):

Համադրույթում ֆունկցիաների հերթականությունը կարևոր է:

Ընդհանրապես ասած, f օ g ≠ g օ f, եթե նույնիսկ երկու համադրույթներն էլ գոյություն ունեն:

у = f(x + a) և у = f(x) + a ֆունկցիաների գրաֆիկիները

у=f(x+a) ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ աբսցիսների առանցքի ուղղությամբ:

  • — Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի աջ կամ դեպի ձախ) որոշվում է a թվի նշանով:
  • — Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:

Եթե a>0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի ձախ, իսկ եթեa<0, ապա՝ դեպի աջ:

Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` չորս միավորով դեպի վերև: Ուրեմն, սա у=x²+4 ֆունկցիայի գրաֆիկն է: 

001.png

 Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ներքև: Ուրեմն, սա у=x²−3 ֆունկցիայի գրաֆիկն է: 

003.png

Հետևաբար.

  • y=f(x+a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ձախ:  
  • y=f(x−a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել  y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի աջ:

у=f(x)+a ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ օրդինատների առանցքի ուղղությամբ:

  • — Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի վերև կամ դեպի ներքև) որոշվում է a թվի նշանով:
  • — Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:

Եթե a>0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի վերև, իսկ եթե a<0, ապա՝ դեպի ներքև:

Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ձախ: Ուրեմն, սա у=(x+3)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է: 

parabola3.png

 Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երկու միավորով դեպի աջ: Ուրեմն, սա у=(x−2)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է: parabola4.png

Հետևաբար՝

y=f(x)+a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի վերև:  

y=f(x)−a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել  y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ներքև:

у = f(-x) և у = — f(x) ֆունկցիաների գրաֆիկիները

у=f(−x) և у=f(x) ֆունկցիաների գրաֆիկները համաչափ են օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

у=−f(x) և у=f(x) ֆունկցիաների գրաֆիկները համաչափ են աբսցիսների առանցքի նկատմամբ:

у = f(ax) և у = af(x) ֆունկցիաների գրաֆիկիները

у=f(ax) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ a-ն դրական թիվ է, у=f(x)

ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի սեղմում կամ ձգում աբսցիսների առանցքի երկայնքով:

Գրաֆիկի սեղմումը կամ ձգումը տեղի է ունենում a թվի արժեքից կախված:

  • Եթե a>1, ապա գրաֆիկը սեղմվում է աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ դեպի օրդինատների առանցքը:                                                                        
  • Եթե 0<a<1, ապա գրաֆիկը ձգվում է աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ հեռանալով օրդինատների առանցքից: 

Մասնավորապես՝

  • y=f(2x) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 անգամ սեղմել աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ դեպի օրդինատների առանցքը:  
  • y=f(x/2) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 անգամ ձգել աբսցիսների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն օրդինատների առանցքից:

у=af(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ a-ն դրական թիվ է, у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի սեղմում կամ ձգում օրդինատների առանցքի երկայնքով:

Գրաֆիկի սեղմումը կամ ձգումը տեղի է ունենում a թվի արժեքից կախված:

  • Եթե a>1, ապա գրաֆիկը ձգվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն աբսցիսների առանցքից:                                                       
  • Եթե 0<a<1, ապա գրաֆիկը սեղմվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ դեպի աբսցիսների առանցքը: 

Մասնավորապես՝

  • y=3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 3 անգամ ձգել օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն աբսցիսների առանցքից:
  • y=f(x)/3 ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը 3 անգամ սեղմել օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ դեպի աբսցիսների առանցքը:

у = |f(x)| և у = f(|x|) ֆունկցիաների գրաֆիկիները

у=|f(x)| ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս պետք է՝  
— վերցնել у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի այն մասը, որը աբսցիսների առանցքի վրա է կամ գտնվում է դրանից վեր,
— աբսցիսների առանցքից ցած գտնվող մասը համաչափ արտապատկերել աբսցիսների առանցքի նկատմամբ:

Դիցուք, այս նկարում պատկերված է у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

у=f(x)ֆունկցիայի գրաֆիկի այն մասը, որը աբսցիսների առանցքի վրա է կամ դրանից վեր է չենք փոփոխում, ցած գտնվող մասը՝ համաչափ արտապատկերում ենք աբսցիսների առանցքի նկատմամբ:

Ստանում ենք у=|f(x)|  ֆունկցիայի գրաֆիկը՝

у=f(|x|) ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս պետք է՝  
— ոչ բացասական x-երի համար կառուցել у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը,
— ստացված գրաֆիկը համաչափ արտապատկերել օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

Դիցուք, այս նկարում պատկերված է у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Ոչ բացասական x-երի համար գրաֆիկը չենք փոփոխում, իսկ բացասական x-երի համար կառուցում ենք դրա համաչափ պատկերը օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

Ստանում ենք у=f(|x|) ֆունկցիայի գրաֆիկը՝

у=f(|x|) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

Կոտորակագծային ֆունկցիա

Սահմանափակ ֆունկցիաներ

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≥m անհավասարությունը:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ  X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի f(x)≤M անհավասարությունը:

Օրինակ՝

ա) f(x)=|x|+3 ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից 3-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≥3 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

f(x)=|x|+3 ֆունկցիան վերևից սահմանափակ չէ:

բ) f(x)=2−|x| ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից 2-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ f(x)≤0 անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

f(x)=2−|x| ֆունկցիան ներքևից սահմանափակ չէ:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն  գոյություն ունեն այնպիսի m և M թվեր, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի m≤f(x)≤M կրկնակի անհավասարությունը:

Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը նշանակում է գտնել m և M թվերը:

y=f(x) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ X⊂D(f) բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի A թիվ, որ ցանկացած x∈X արգումենտի համար տեղի ունի |f(x)|≤A անհավասարությունը:

Ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթում կա փոքրագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի փոքրագույն արժեք:

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթում կա մեծագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի մեծագույն արժեք:

-ով ընդունված է նշանակել ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը:

-ով  ընդունված է նշանակել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը:

Պարբերական ֆունկցիաներ

Ասում են, որ y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, եթե կամայական x∈X արգումենտի համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝  f(x−T)=f(x)=f(x+T): 

Զրոյից տարբեր T պարբերություն ունեցող ֆունկցիան կոչվում է պարբերական:

Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան ունի T պարբերություն, ապա T-ին պատիկ ցանկացած թիվ ևս y=f(x) ֆունկցիայի պարբերությունն է:

Պարբերական ֆունկցիան ունի անվերջ թվով պարբերություններ:

Մեծամասամբ դրանց մեջ լինում է ամենափոքր դրական պարբերությունը:

Եթե պարբերական ֆունկցիան ունի փոքրագույն դրական պարբերություն, ապա այն անվանում են հիմնական պարբերություն:

Պարբերական ֆունկցիայի լավ օրինակներ են y=sinx և y=cosx եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Դրանց պարբերությունը հավասար է 2π:

y=tgx և y=ctgx ֆունկցիաները ևս պարբերական են՝ π պարբերությամբ:

Նույնաբար հաստատուն y=const ֆունկցիան ևս պարբերական է: Նրա համար ցանկացածT≠0 թիվ պարբերություն է:

Պարբերական ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորաբար կառուցում են [;+T) հատվածի վրա, ապա այն կրկնելով շարունակում են ամբողջ որոշման տիրույթի վրա:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ

1) y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են զույգ, եթե ցանկացած x-ի համար X բազմությունից կատարվում է f(−x)=f(x) հավասարությունը:

2)  y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են կենտ, եթե ցանկացած x-ի համար X բազմությունից կատարվում է f(−x)=−f(x) հավասարությունը:

Ֆունկցիան կարող է լինել զույգ, կենտ, կարող է նաև լինել ո՛չ զույգ, ո՛չ էլ կենտ:

Եթե y=f(x) ֆունկցիան զույգ է կամ կենտ, ապա նրա D(f) որոշման տիրույթը համաչափ բազմություն է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:
y=f(x) ֆունկցիայի զույգության հետազոտման ալգորիթմը հետևյալն է.
  1. Պարզել, թե արդյո՞ք D(f) որոշման տիրույթը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ: Եթե «ոչ», ապա ֆունկցիան ո՛չ զույգ է ո՛չ էլ կենտ: Եթե «այո», ապա անցնել երկրորդ քայլին:  
  2. Կազմել f(−x) արտահայտությունը:
  3. Համեմատել f(−x) և f(x) արտահայտությունները:
  • ա) Եթե f(−x)=f(x) ցանկացած x∈D(f) արգումենտի համար, ապա ֆունկցիան զույգ է:
  • բ) Եթե f(−x)=−f(x) ցանկացած x∈D(f), արգումենտի համար, ապա ֆունկցիան կենտ է:
  • գ) Եթե գոնե մեկ x∈D(f) արգումենտի համար տեղի ունի f(−x)≠f(x) կամ f(−x)≠−f(x) հավասարություններից մեկը, ապա y=f(x) ֆունկցիան ո՛չ զույգ է, ո՛չ էլ կենտ:

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ, ապա ֆունկցիան զույգ է:

Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ, ապա ֆունկցիան կենտ է:

Սինուսը, տանգենսը, կոտանգենսը կենտ ֆունկցիաներ են, իսկ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է:

Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքեր

Աճող և նվազող ֆունկցիաներն ունեն ընդհանուր անվանում՝ մոնոտոն ֆունկցիաներ:

Մեզ կհետաքրքրեն այն միջակայքերը, որտեղ y=f(x) ֆունկցիան մոնոտոն է: Այդպիսի միջակայքը կոչվում է y=f(x) ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայք:

Գտնենք հետևյալ ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը`

Գրաֆիկից տեսնում ենք, որ՝

[2;5]  և  [7;8] հատվածներում ֆունկցիան խիստ աճող է,

[8;12] հատվածում ֆունկցիան խիստ նվազող է,իսկ [2;8] հատվածում ֆունկցիան չնվազող է (աճող է ոչ խիստ իմաստով), քանի որ [5;7] հատվածում այն նույնաբար հաստատուն է:

Ֆունկցիայի էքստրեմումները

Ֆունկցիայի արժեքը մինիմումի կետում կոչվում է ֆունկցիայի մինիմում և նշանակվում :

Ֆունկցիայի մաքսիմումի և մինիմումի կետերը ունեն ընդհանուր անվանում՝ էքստրեմումի կետերԻսկ ֆունկցիայի մաքսիմումներն ու մինիմումները կոչվում են ֆունկցիայի էքստրեմումներ:

Դիտարկենք հետևյալ գրաֆիկը:

Այս ֆունկցիան ունի էքստրեմումի երեք կետ՝ -ն,  -ը և  -ը: Ընդ որում,— ն և  -ը մինիմումի կետեր են, իսկ  -ը մաքսիմումի կետ է:

Ֆունկցիան իր փոքրագույն արժեքը՝  -ը ընդունում է  -ը մինիմումի կետում:Ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը B-ն է: Սակայն ֆունկցիան իր

B մեծագույն արժեքը ընդունում է ոչ թե մաքսիմումի կետում, այլ b ծայրակետում:

Հատվածում որոշված ֆունկցիան իր մեծագույն (փոքրագույն) արժեքը կարող է ընդունել մաքսիմումի (մինիմումի) կետում կամ հատվածի ծայրակետերում:

Ֆունկցիայի հետազոտում և գրաֆիկի կառուցում

Ստանում ենք հետևյալ գրաֆիկը՝

y=f(x) ֆունկցիայի վարքի հետազոտման և գրաֆիկի ուրվագծի կառուցման համար, որպես կանոն, պետք է կատարել հետևյալ քայլերը:

  1. Գտնել y=f(x) ֆունկցիայի D(f) որոշման տիրույթը:
  2. Գտնել y=f(x) E(f) արժեքների բազմությունը:
  3. Պարզել ֆունկցիայի պարբերականությունը:
  4. Պարզել ֆունկցիայի զույգությունը:
  5. Պարզել ֆունկցիայի սահմանափակությունը և գոյության դեպքում գտնել ֆոունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները:  
  6. Պարզել ֆունկցիայի անընդհատությունը կամ գտնել նրա խզման կետերը:
  7. Գտնել ֆունկցիայի զրոները, մասնավորապես, որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերը:
  8. Գտնել ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը:
  9. Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը:
  10. Գտնել ֆունկցիայի էքստրեմումի կետերն ու էքստրեմումները:
  11. Եթե ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի միջակայքերից, ապա պարզել ֆունկցիայի վարքը այդ միջակայքերի ծայրակետերում:

Կախված խնդրի պահանջից, վերը թվարկված քայլերի մի մասը կարելի է բաց թողնել կամ, եթե պահանջվում է գրաֆիկի մանրակրկիտ կառուցում, կատերել հավելյալ քայլեր (մասնավորապես, հաշվել ֆունկցիայի արժեքները որոշ կետերում և կազմել արժեքների աղյուսակ):

Քայլերի հերթականությունը պարտադիր չէ՝ այն կարելի է ընտրել նպատակահարմարությունից ելնելով:

Հակադարձ ֆունկցիա

y=f(x)x∈X ֆունկցիան անվանում են հակադարձելի X բազմությունում, եթե այն իր յուրաքանչյուր արժեք ընդունում է X բազմության միայն մեկ կետում (այլ բառերով՝ արգումենտի իրարից տարբեր արժեքներին համապատասխանում են ֆունկցիայի իրարից տարբեր արժեքներ):

Թեորեմ 1 Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան մոնոտոն է, ապա այն հակադարձելի է X բազմությունում:

Հիշենք, որ մոնոտոն ֆունկցիան աճում կամ նվազում է խիստ իմաստով:

Թեորեմ 2, 3

y=f(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիայի բանաձևը գտնելու համար պետք է.

  • y=f(x) հավասարումից (x)-ն արտահայտել y-ով,
  • ստացված x=g(y) բանաձևում փոխել x-ի և y-ի տեղերը:

Թողնել պատասխան

Ձեր էլ-փոստի հասցեն չի հրատարակվելու։ Պարտադիր դաշտերը նշված են *-ով